高一数学复习资料(一)
2.1函数及映射的概念
课程引入：
初中函数定义：设在一个变化过程中有两个变量，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就称是的函数。其中叫做自变量，自变量的取值范围叫做定义域;叫做函数值，其取值范围叫做值域.
必备知识：
1. 映射的定义：对于集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：,其中A中的元素叫做原象，B中的元素叫做象，叫做对应关系(或对应法则)。
2. 函数定义：对于数集A中任何一个元素在数集B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的函数，记作：，自变量的取值范围叫做定义域，函数值的取值范围叫做值域，与之间的关系叫做对应法则。
例题讲解：
例题1(06湖北模拟)设都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：
表1 映射的对应法则
原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 表2 映射的对应法则
原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2 则与相同的是( )A
A. B. C. D.
练习1(07北京模拟)设是集合A到集合B的映射，如果，则等于( )C
A. B. C. 或 D. 或
例题2已知，，则映射的个数为 。4
练习2：是从集合到集合的映射，则满足映射条件的""共有( )D
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
例题3已知，求.
练习3已知，求
2.2求函数定义域
课程引入：
函数，求其定义域.
必备知识：
1. 定义：自变量x的取值范围(映射观点：原象的集合)
2. 常见函数定义域：(1)分母不为零(2)对数真数大于零(3)开偶次根式，被开方数大于或等于零
3. 求函数的定义域即转化为解不等式(组)，可用"区间"或"集合"来表示.
例题讲解：
例题1(08全国1文)函数的定义域为( )D
A. B. C. D.
练习1：(09江西文)函数的定义域为( )D
A. B. C. D.
例题2(08江西文)若函数的定义域是，则函数的定义域是( )B
A. B. C. D.
练习2：若函数的定义域是，则函数的定义域为( )A
A. B.
C. D.
例题3函数的定义域为R，则的取值范围是 .
练习3：已知函数的定义域为R，求的取值范围 .
例题4若函数的定义域为，求的定义域.
练习4：若函数的定义域是，则函数的定义域是( )B
A. B. C. D.
2.3求函数值域
课程引入：
初中一次函数图像引入，，的取值范围?图像处理
必备知识：
1.定义：函数值的取值范围叫做函数的值域.
2.求值域的常用方法：
(1) 换元法 形如：求值域
(2) 判别式法 形如：求值域，去分母转换为一元二次方程，由求出y的范围
(3) 分离常数法 形如：求值域
(4) 反函数法 利用互为反函数定义域和值域互换的特点，原函数值域就是反函数定义域。
(5) 数形结合法 如：三角函数、含绝对值的函数
(6) 均值不等式
例题讲解：
例题1(09福建模拟)函数的值域是( )B
A. B. C.R D.
练习1：求函数的值域.
例题2(08重庆文)函数f(x)=的最大值为( B )
A. B. C. D.1
练习2：(09东北模拟)函数其中(x<0)的值域( )A
A. B. C. D.
例题3求函数(09湖北文)函数的值域是( )B
A. B. C. D.
练习3：求函数的值域.
例题4(08四川模拟)函数的值域是 .
练习4求函数的值域是 .
例题5函数在上的值域是，则的取值范围是( )D
A. B. C. D.
练习5：已知函数的值域为，求实数的值.
2.4分段函数求值
必备知识：
1.注意定义域的范围，带入相应的函数表达式求出函数值即可.
例题讲解：
例题1(09北京文)已知函数若，则 。
练习1：(09山东文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f(3)的值为( B )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
例题2(09天津文)设函数则不等式的解集是( )A
A B C D
练习2：(08山东理)设函数f (x)=则f 的值为( )A
A. B. - C. D.18
例题3(08天津理)已知函数，则不等式的解集是( )C
(A) (B)
(C) (D)
高一数学复习资料(二)
一：集合的含义与表示
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
3、集合的表示：{…}
(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
(1)有限集：含有有限个元素的集合
(2)无限集：含有无限个元素的集合
(3)空集：不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系：
(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A
注意：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
6、集合间的基本关系
(1).“包含”关系(1)—子集
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
7、集合的运算
二、函数的概念
函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.
(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
函数的三要素：定义域、值域、对应法则
函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域
(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.
(2)画法
A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。
(3)函数图像平移变换的特点：
1)加左减右——————只对x
2)上减下加——————只对y
3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)
4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)
5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)
6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得
函数y=|f(x)|
7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
(1、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2、求函数的解析式的主要方法有：
1)代入法：
2)待定系数法：
3)换元法：
4)拼凑法：
2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念：
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
5、值域(先考虑其定义域)
(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A---B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)---B(象)”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数
8、函数的单调性(局部性质)及最值
(1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
注意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种
(2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：
任取x1，x2∈D，且x1
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
9：函数的奇偶性(整体性质)
(1、偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2、奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;若是不对称，则是非奇非偶的函数;若对称，则进行下面判断;
b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定.
10、函数最值及性质的应用
(1、函数的最值
a利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
b利用图象求函数的最大(小)值
c利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
(2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
(3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。
(4)绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。
(5)在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
高一数学必修一知识点总结:基本初等函数
一、指数函数
(一)指数
指数与指数幂的运算：
复习初中整数指数幂的运算性质：
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
分数指数幂
正数的分数指数幂的
二、对数函数
(一)对数
2、对数函数的性质：
三、幂函数
高一数学复习总结:函数的应用
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点.
3、函数零点的求法：
(1)(代数法)求方程的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.