平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。
推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论:
①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
证明思路:
该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点
法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
AM=DP,AN=DQ
AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN
DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ
又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF
根据比例的性质:
AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
∴AB/BC=DE/EF
法2:过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.
∵ BE∥CF
∴△ABM∽△ACN.
∴AB/AC=AM/AN
∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
∴AB/BC=DE/EF
法3:连结AE、BD、BF、CE
根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE, S△BCE=S△BEF
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:
AB/BC=DE/EF
由更比性质、等比性质得:
AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF
初一数学平行线分线段成比例知识点大全(二)
典型例题
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB、CD于E、F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,则EF=_____.
答案:15
解析:由已知中EF∥AD∥BC,我们易得到OAD∽△OCB,△OAE∽△CAB,进而我们可以求出AD,EF,BC三条平行线段分线段所成的比例,结合AD=12,BC=20,即可求出答案.
解:∵EF∥AD∥BC,
∴△OAD∽△OCB,
OA:OC=AD:BC=12:20
△OAE∽△CAB
OE:BC=OA:CA=12:32
∴EF=
=15
故答案为:15
1. 已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=6,那么EG2+HF2=().
2. 以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,圆O与斜边AC交于D,过D作圆O的切线与BC交于E,若BC=3,AB=4,则OE=_____.
3. 如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AD=CD=1.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则该平行四边形的面积为_____.
4. (几何证明选讲选做题)
在△BC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=BD,延长AE交BC于点F,则的值为_____.
5. (几何证明选讲选做题)如图,EF是梯形ABCD的中位线,记梯形ABFE的面积为S1,梯形CDEF的面积为S2,若,则=_____,=_____.
6. (几何证明选做题)
如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD:AB:BC=3:4:6,E、F分别是AB、CD上的点,AE:AB=DF:DC=1:3.若四边形ABCD的周长为1,则四边形AEFD的周长为_____.
7. (文科做)已知平面α∥面β,AB、CD为异面线段,AB⊂α,CD⊂β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ,平面γ∥面α,且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q.
(1)若a=b,求截面四边形MNPQ的周长;
(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值.
8. 如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,
AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:=;
(2)设AF交β于M,AC≠DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当的值是多少时,△BEM的面积最大?
9. 如图,
,AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,
,
则AE等于.
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10. 如图所示,AD是△ABC的中线,E是CA边的三等分点,BE交AD于点F,则AF∶FD为 ( ).
A.2∶1
B.3∶1
C.4∶1
D.5∶1