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解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC中,∠C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是: (1) 正弦定义:在直角三角形中ABC,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即
sin A = ca, (2)余弦的定义:在直角三角行ABC,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即
cos A = cb, (3)正切的定义:在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即
tan A =ba , (4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即
aAAAb的对边的邻边cot???? 锐角A的正弦、余弦,正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件: (1)锐角∠A必须在直角三角形中,且∠C=900; (2)在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则,不存在上述关系
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注意:锐角三角函数的定义应明确
(1) ca,
cb
,ba
,ab 四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,即当锐角A 取固定值时,它的四个三角函数也是固定的; (2)sinA不是sinA的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,其他三个三角函数记号也是一样; (3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质,如同角三角函数关系,互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等; (二)、同角三角函数的关系 (1)平方关系: 122sin???COS? (2)倒数关系:tana cota=1 (3)
商数关系:???????sincoscot,cossintan 注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同事还要注意它们的变形公式。 (2)????sinsin22是的简写,读作“?sin 的平方”,不能将??22sin写成sin前者是a的正弦值的平方,后者无意义; (3)这里应充分理解“同角”二字,上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同,
如1cottan,1223030cossin22????????,而1cossin22????就不一定成立。 (4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。 (三)余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它
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的余角的正弦值,任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即 sinA=cos(90°-A) cosA=sin(90°-A) tanA=cot(90°-A) cotA=tan(90°-A) 注意:此关系涉及的两角必须互余,左右两边的函数名称不同,其主要作用就是改变函数名称。 (四)特殊角的三角函数值
00 300 450 600 90° sinα 0 21 22 23 1 cosαα 1 23 22 21 0 tanα0 33 1 3 不存在cotα 不存在 3 1 33 0 (五)三角函数值的变化规律及范围 1.当角度在0°~90°之间变化时: 正弦值岁角度的增大(或减小)而增大(或减小); 余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大); 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小); 余切值随角度的增大(或减小)而减小(或增大); 2、当0°≤a≤90°时,0≤sina≤1,0≤cona≤1,
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