初中数学一次函数教学视频

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初中只学了三种函数：一次函数、反比例函数、二次函数。今天许多分老师把三个函数的学习要点和技巧分享给大家，希望能帮助大家把函数学好。

接下来许多分老师会从函数的解析式、图象性质、待定系数法求函数解析式、函数与方程、函数与不等式等几个要点给大家讲解。

一次函数一次函数的解析式是：y=kx+b【k≠0】,当b=0时，y=kx【k≠0】是正比例函数，正比例函数是一次函数的一种特殊形式。例如下列函数均属于一次函数：y=2x-1,y=-x,y=x+4。一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象则是一条过原点的直线。①画一次函数图象的方法步骤：列表、描点和连线。（因为两点确定一条直线，所以列表时只需两个点即可）举例说明如下：②解题过程当中有时候需要画出一次函数的大致图象（草图），方法步骤如下：一次函数k的值决定直线的上升或下降，b的值决定了直线与y轴的交点在正半轴还是负半轴。举例说明如下：一次函数图象的性质：①k>0,b>0时直线从左到右上升，y随x的增大而增大，函数图象经过一、二、三象限。②k>0,b<0时直线从左到右上升，y随x的增大而增大，函数图象经过一、三、四象限。③k<0,b>0时直线从左到右下降，y随x的增大而减小，函数图象经过一、二、四象限。④k<0,b<0,时直线从左到右下降，y随x的增大而减小，函数图象经过二、三、四象限。待定系数法求一次函数解析式：找到一次函数图象经过的两个点，把这两个点的坐标分别代入一次函数解析式中，联立二元一次方程组，求出方程组的解，最后写出解析式即可。举例说明如下：一次函数与方程：①一次函数与一元一次方程：若一次函数y=kx+b【k≠0】的图象经过点（a,0），则一元一次方程kx+b=0的解是x=a。举例说明如下：②一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的交点坐标其实就是二元一次方程组的解。举例说明如下：一次函数与一元一次不等式：若一次函数y=kx+b【k≠0】的图象经过点（a,0）①k>0时，不等式kx+b>0的解集是x>a。②k>0时，不等式kx+x<0的解集是x0的解集是xa。举例说明如下：反比例函数反比例函数解析式：y=k/x【k≠0】，比如y=8/x,y=-3/x,xy=3等都是反比例函数。反比例函数图象：反比函数图象是双曲线。①画反比例函数图象步骤：列表、描点、连线。举例说明如下：②画反比例函数的大致图象：k>0时反比例函数图象在一、三象限，k<0时反比例函数图象在二、四象限。举例说明如下：反比例函数图象的性质：①k>0时，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小。②k<0时，反比例函数图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。待定系数法求反比例函数解析式：找到反比例函数图象经过的一个点，把这个点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出比例系数k的值，最后写出反比例函数解析式即可。举例说明如下：反比例函数与一次函数图象交点坐标求法：联立方程组并求出方程组的解，方程组的解即两函数图象的交点坐标。举例说明如下：反比例函数与不等式：解决方法：按两个交点坐标和y轴把图象空间分成了四个区间，按区间内的两个函数图象高低来定不等式的解集。二次函数二次函数解析式：二次函数图象：二次函数的图象是抛物线。①画二次函数图象步骤：列表、描点、连线。举例说明如下：②画二次函数的大致图象：需要开口方向、顶点坐标、与y轴的交点坐标三个关键信息即可画出较为准确的二次函数大致图象，举例说明如下：二次函数的图象性质：待定系数法求二次函数解析式：（在许多分老师4月10日发的图文中有例题详解，欢迎大家去阅读，在此就不再重复）二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一次函数的交点坐标求法：联立方程组并求出方程组的解，方程组的解即是两个函数的交点坐标。举例说明如下：二次函数与不等式：这类题的解法是：以两个交点为界把整个空间分成了三个区域，再根据两个函数图象的高低来界定取值范围。

整个初中部分的函数基础内容全部罗列完毕，只要把这些基础知识学会，再辅以相应的练习，一定能把函数学好。

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一次函数是初中学段函数章节所学第一个也是最简单的一个函数模型，是初中学段学好函数章节的敲门砖和铺路石。因而，学习一次函数所获得一些经验和解题方法，可以直接作用于后续的函数模型：反比例函数/二次函数，甚至高中学段的幂函数/指数函数/对数函数等。本文与其说是在回答解答一次函数题时的一些注意事项（不是技巧，也没有那么多功利性的技巧，只是常规常法，通法。）倒不如说是在为后续学习其他函数模型，提供借鉴和参考。因而，我们可以通过这个回答，把眼光放大到整个函数章节，而不仅仅局限于解答一次函数题。

一。关于一次函数的概念

【举例1】下列图示揭示x，y之间关系属于一次函数的是（）

分析：仅从“形”看，三个图形都是“直（折）线”型，知识点：一次函数的图象是直线！

但其逆命题未必为真，也就是说，图象（形）是直（折）线的，不一定是一次函数哟！

图A，压根就不是函数关系，当然更谈不上一次函数了。存在一个特定的x的值，对应两个不同y值的情形，俗称“一对多”，而“一对多”在函数概念中是被禁止的！

图C，是函数，但不是一次函数。图中不同x的取值，都有y的值与之对应，并且这些y值都是相等的（没有变化），因而是常函数，即y=k（k为常数）形式。

图B，是函数，并且是一次函数，是分段函数。图中从折线的“拐点”处分段，“拐点”的两侧分别对应不同的表达式，但两个表达式都符合y=kx+b的形式。

所以举例1的正确答案：图B

综述：一次函数的图象是直线，但图象是直线的函数不一定一次函数！

二。关于一次函数表达式

【举例2】已知A【1,-5/2】,B【-2,13/2】,C【6,m】三点共线，求m的值。

分析：理解三点共线的含义：由已知点A，B确定直线AB，则点C必在直线AB上。直线AB是一次函数，设其表达式为y=kx+b，用待定系数法，可以求出k，b，进而求出直线AB的表达式；再将x=6代入该表达式，即可求出m的值。

实际操作：设直线AB的表达式为y=kx+b，依题意得方程组-5/2=k+b，13/2=-2k+b

解得k=-3，b=1/2，

因而直线AB为y=-3x+1/2，

又因为A,B,C三点共线，所以点C在直线AB：y=-3x+1/2上，

因而当x=6时，m=-3×6+1/2=-71/2

综述：1.三点共线，即第三点一定在前两个点所确定的直线上；

2.点在直线上（直线过某点），即点的坐标满足直线的表达式；

3.确定一次函数的表达式，只需要两个已知点（两组对应值）；

4.求一次函数的表达式，用待定系数法解决。

三。关于一次函数的实际应用

【举例3】某工厂建有一大型蓄水池用于生产。蓄水池有进、出水管各一个，每晚注满水，从上午8点时开始供水，当水池低于某水位时，进水管开始自动注水。

（1）根据图象提供的信息写出蓄水池最大蓄水量，并计算出水管每小时的流量；

（2）18时工厂停止生产后，蓄水池只注水，求此阶段y与x的函数关系式，并求将水池注满水时x的值。

分析：这是一道解决实际问题的应用题，表面看涉及到一次函数，其实不必生搬硬套待定系数法。利用数形结合，通过读图，理解问题背景的三个量：进（出）水量，进（出）水速度，时间三者之间关系：进（出）水速度=水量/时间，

进而根据题目所给时间进行分段，逐段弄清进出水的情况，利用算术方法即可解决。

实际操作：

AB段：y=500，0≤x≤8水已注满，蓄水量最大500立方米；

BC段：y=500－【（500－100）/（16－8）】（x－8）

=900－50x，8＜x≤16

在BC段，工厂开工用水，水量只出不进，逐渐减少，

出水管的出水速度=（500－100）/（16－8）=50立方米/时；

CD段：y=100＋【（200－100）/（18－16）】（x－16）

=50x－700，16＜x≤18

进水管开始自动注水，出水管还在出水，此段水量有进有出，进水量大于出水量，

进出水的速度差=（200－100）/（18－16）=50立方米/时，

所以进水速度=出水速度＋50=50＋50=100立方米/时；

DE段：停工注水，只进不出，将水池注满（500立方米）需要增加300立方米，进水速度=100立方米/时

所以注满水池的时间=300/100=3小时，注满水的时刻x=18＋3=21时

综述：1.分析清楚每个时间段进出水的情况，是决定本题成败的关键；

2.死板套用待定系数法还是直接用算术方法解决，是考查一次函数知识点是否学活的试金石。

四。关于一次函数与几何的综合

【举例4】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC的高，点E在高AD上（点E不与A，D重合），过点E作FG∥BC，分别交两边AB，AC于点F，G，连结DG，过点F作FH∥DG，交边BC于点H.已知BC=12，设AE=x，在点E的运动过程中，FG，DE随x的变化的图象9-2所示（直线的一部分），根据图29-1，图29-2提供的信息解决下列问题：

（1）求AD的值；

（2）求x的取值范围，并求当x为何值时，四边形FGDH的面积最大，最大面积是多少？（3）求AB，AC的值.

分析：这是一道典型数形结合，代数与几何结合的动点问题，有一定的难度。突破点：

1.在点E运动过程中，有两个事实：其一，△AFG∽△ABC；其二，平行四边形FGDH；

2.结合图形和图象，发现一些特殊点（位置），解决特殊线段的长。

实际操作：

（1）由图29-2可知，当AE=2时，DE=4，所以，AD=AE+DE=2+4=6；

因而，AD=m=6.

FG∥BC→∠AFG∠=ABC，∠BAC=∠BAC=>△AFG∽△ABC=>AE:AD=FG:BC=>FG=12AE/AD，即yFG=x，

由图29-1得，当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yFG=2x，

∴12/AD=2，即AD=6;

（2）由图29-1可知，

∵AD=AE+DE，∴DE=AD－AE，即yDE=6－x，

∴m=6，由图29-2可知，0

结合图形分析得知，

当AE=x=n时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD，

设FG与x的函数关系式为yDE=kx，

∵当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yDE=2x，

∵当x=n时，yFG=m=6，∴6=2n，即n=3，∴0

∵FG∥BC，DG∥FH，∴平行四边形FGDH，

∴平行四边形FGDH的面积=FG×DE=2x（6－x）=－2（x^2－6x）=－2（x^2－6x+9－9）=－2（x－3）^2+18≤18，

∴四边形FGDH面积的最大值为18，此时，x=3，

即AE=3，即E为AD的中点时，面积最大为18.

（3）由（2）可知，当x=3时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD=m=6=BC，

∴D为BC的中点，又AD⊥BC，∴AB=AC，又∠BAC=90°，

∴由勾股定理得，AB=AC=BC/√2=12/√2=6√2.

综述：1.这类代数几何综合，数形结合的题目，利用相似及勾股定理建立数学模型，其中可能涉及到所学函数一次函数，二次函数等；

2.动点问题，特别注意几何直观的运用，关注一些特殊点/特殊位置/特殊时刻。

以上从四个方面举例说明了在解答一次函数题时的一些常规常法。列举例题综合性较强，所以有难度是肯定的，希望能对你有所启发。

首先，我想问的是满分150分的试卷考了120分吗？客观评价，我觉得这并不算太差，最起码也算是良好吧，说明基础知识掌握的还是不错的，所以，没有必要过于紧张。然后，一元一次方程听不懂，指的应该是一元一次方程的应用不太懂吧？这也很正常，因为列方程解应用题本来就是七上数学的一个重难点。很多学生在这一块都比较薄弱。所以，先要有个正确的认识，调整好心态很重要。

那么，针对这一薄弱环节，到底应该怎么办呢？

第一，我觉得应该先把你搞不懂的，常考的经典题型进行归类汇集。比如：行程问题、工程问题、分配问题、配套问题、等积变形、年龄问题、打折销售、数字问题等，然后，搞清楚并熟记各种典型应用题的基本等量关系式，这是我们后面解决这些问题的重要依据

第二，就是搞清楚列方程解应用题的几个步骤以及关键步骤。审题、找等量关系、设元、列方程、解方程、作答。而在这6大步骤中，其实最关键的是前两个步骤，审题是为了分析清楚条件中的数量关系，弄清题意，进而找到等量关系，建立方程。因为方程的本质是等式，所以，找到正确的等量关系至关重要！

当你熟悉了各种题型和解题步骤之后，那么，接下来最重要的一步就是去练习。找到每一种题型对应的练习题，反复练习，并且不断反馈，不管是做的好的，还是不会做的，都要及时归纳总结，直到把每一种题型都做的非常熟练。那么，你会发现，曾经的难题都是自我设限，其实一切都很简单！难只是相对的，不会也只是暂时的。

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